Sume av dykk vil kann henda protestera på valet av yverskrift. For i dagleglivet klarar dei fleste av oss lenge med den klassiske mekanikken. Og godt er no det. For i den klassiske mekanikken er verdi greid og logisk. I den moderne fysikken er det ikkje so logisk lenger, men tvert um sers lite intuitivt. Sume av dykk kjenner kann henda Einstein-sitatet "Gud spelar ikkje med terningar". Bakgrunnen for sitatet var at Einstein i si tid ikkje var viljug til å godtaka den nye kvantemekanikken, som ikkje var av deterministisk, men av statistisk, natur.

Den fyrste upptakti til kvantemekanikken kom då Planck konstaterte at strålingi frå ein svart lekam var kvantisert, med energi E = hf, der h er Planck-konstanten og f er frekvensen åt den elektromagnetiske bylgja. Seinare synte De Broglie at den same formelen galdt for elektroni med. Partiklar kunde modellerast som bylgjor og bylgjor kunde modellerast som partiklar. Det vart med tidi klårt at grunnlaget var lagt for ein heilt ny type mekanikk.

Dette høyrest kanskje sers teoretisk og abstrakt ut, og det er det med, men samstundes gjeld det sume av dei mest jordnære ovringane som me hev ikring oss. Lat oss byrja med noko so konkret som dei faste stoffi - metalli til dømes. Handverket metallurgi hev vore kjent i tusundtals år, men den grunnleggjande kunnskapen um korleis dei faste stoffi er bygde upp hev vorte verande ukjend heilt upp til moderne tid. Tenk berre på kvasivitskap som alkemi og jakti på "de vises sten". Korleis skal ein forklåra fenomen som elektrisk leidningsevna, varmekapasitet og varmeleiding i eit fast stoff? Kvifor er sume stoff isolatorar og andre halvleidarar eller metall? Som me skal sjå er desse problemi klassisk uforståelege.

Å gjera greida for alle dei matematiske utleidingane attum kvantemekanikken hadde fylt heile bladet, og mange hadde nok falle av lasset med kvart. Eg skal i staden freista å gjeva dykk ei forklåring som eg trur kann vera intuitiv nok til at de klarar å hengja med.

Frielektron-gass

Heilt frå J.J Thompson i 1897 uppdaga elektronet, var det liten tvil um at det var denne partikkelen som var årsak til metalli sine gode elektriske og termiske leidningsevna, og det tok berre 3 år fyre den fyrste metallteorien kom. Det var Paul Drude sin modell med ein einfeld klassisk rørsleteori for ein gass av elektron. Her tenkte ein seg at dei lausast botne elektroni i metallet (valenselektroni) flaug fritt ikring i metallet, som i ein gass: Elektroni vekselverka ikkje med einannan, men utveksla kinetisk energi med di dei kolliderte med dei tunge atomkjernane.

Frielektronteorien forklårar greidt den elektroniske leidningsevna åt metalli, og kann nyttast til å utleida Ohms lov for ein elektrisk motstand, men han greider ikkje å forklåra kvifor elektroni yter so lite til varmekapasiteten i metalli, og det samstundes med at dei yter det viktugaste tilskotet til den termiske leidingsevna. Han greider helder ikkje å forklåra kvifor sume faste stoff er metall, og andre halvleidarar eller isolatorar.

Frielektron-teorien var soleides i stand til å forklåra mykje, men det var framleis mange merkelege eksperimentelle resultat som ikkje svara til frielektron-teorien.

Det næste store stiget var Sommerfeld si innføring av kvantestatistikk for elektroni, der den frie elektrongassen vart modellert som det me i dag kallar ein Fermi-gass. Og bitane fall endelegt på plass med Bloch som korrigerte modellen med umsyn til at elektroni flutte seg i eit periodisk potensial.

Fonon - kollektive gittervibrasjonar

Når me fyrst skal gå inn i problematikken, er det greidast å byrja i ein ende, so lat oss byrja med varmekapasiteten. Som me skal sjå hev denne med si naturlege kvantemekaniske forklåring:

I eit metall heng atomkjernane saman i ein krystallstruktur. Det eksisterar både tildragingskrefter og fråstøytingskrefter millom elektroni, og ei fyrste ordens tilnærming kann soleides vera å modellera atomkjernane i krystallgitteret som ei samling av kuler knytte saman med elastiske fjører (sjå figur 1). Um ein set upp differensiallikningssettet for eit slikt system, kann ein sjå at atomkjernane hev kinetisk energi og potensiell energi i tri dimensjonar kvar. Ut frå vanleg klassisk Boltzmann-statistikk skulde kvar fridomsgrad svara til ein gjenomsnittsenergi på ½ kT, der k er Boltzmann-konstanten og T er temperaturen, uppgjeven i Kelvin. I sum skulde kvart atom difor ha gjenomsnittleg termisk energi på 2 * 3 * ½ kT = 3kT. Dei frie elektroni som einast hadde tri dimensjonar med kinetisk energi, og ingen dimensjonar med potensiell energi, skulde yta 3/2 kT. For eitt mol skulde varmekapasiteten verta Avogadros tal, N, multiplisert med (3kT + 3/2kT). Men i staden synte alle observasjonar at varmekapasiteten var mykje mindre ved låge temperaturar, og han flata ut ved um lag 3NkT for dei høge. Kva var grunnen til at varmekapasiteten var temperaturavhengig, og kvifor gav ikkje elektroni noko nemnande tilskot til varmekapasiteten?

Svaret finn ein um ein i staden for å modellera atomkjernane klassisk, modellerar gittervibrasjonane som ein sum av sokalla eigenmodar, der kvar eigenmode er ein kvanteharmonisk oscillator. Dei kvanteharmoniske oscillatorane hev energi n*h*w0, der w0 er frekvensen åt den einskilde eigenmoden og h er Planck-konstanten. Talet n er eit heiltal, og dette talet fortel oss kor mange fonon det er i kvar eigenmode. Eit fonon er ein slags kvasipartikkel som vert nytta til å kvantisera energien i gittervibrasjonane. Innanfor kvantemekanikken høyrer fononi med til dei sokalla bosoni, partiklar som ikkje fylgjer det sokalla Pauli-prinsippet og som hev heiltaligt spinn. Medan molekyli i ein gass fylgjer Boltzmann-distribusjonen, fylgjer bosoni den sokalla Bose-Einstein-distribusjonen, og med denne er det råd å syna at ein lyt yver ein kritisk temperatur, som varierar frå stoff til stoff, for å få lineær samanheng millom temperatur og tal på fonon i dei ulike modane. Med Bose-Einstein-statistikken kann ein soleides forklåra kvifor sume av "fridomsgradene" i den klassiske Boltzmann-statistikken vert frosne ut ved låge temperaturar.

Når det kjem til elektroni, er det, som me alt hev vore inne på, eit anna prinsipp som må innførast, Paulis eksklusjonsprinsipp. Det segjer at ein ikkje kann ha meir enn tvo fermion pr kvantetilstand (og elektron er fermion). Når temperaturen er låg, ligg elektroni tett i tett på dei lægste energitilstandi. Som regel er Fermi-energien (den høgste energien elektroni i metallet kann ha ved temperatur på null Kelvin) mykje høgare enn kT, difor er det berre nokre fåe elektron som vert tilførde meir termisk energi. Elektroni sitt tilskot til varmekapasiteten ved moderate temperaturar kann soleides neglisjerast.

Elektron - frå partiklar til bylgjor

Med Schrødinger-likningi for eit fritt elektron vert ein partikkel modellert som ein kompleks bylgjefunksjon. Um me modifiserar bylgjefunksjonen slik at eit periodisk potensial, gjeve av tiltrekkjingskreftene åt atomkjernane i materialet, vert modulert inn i bylgjefunksjonen, fær me straks ein meir realistisk modell. Ein slik bylgjefunksjon vert kalla for ein Bloch-funksjon. Um ein set Bloch-funksjonen inn for bylgjefunksjonen og løyser Schrødinger-likningi, fær ein ut eit sett med energiar som elektronet kann ha. Det syner seg då at det for sume energiar ikkje eksisterar bylgjeliknande løysingar. Elektroni vert lokaliserte i sokalla band, og millom dei ulike bandi er det energigap der partiklane ikkje hev lov til å vera. På toppen av energigapet fær me eit sokalla leidingsband og på botnet av energigapet eit valensband.

Når bandstrukturen er komen på plass, er det lett å forklåra skilnaden i elektrisk leidingsevna millom dei ulike stoffi:

I eit metall er ikkje leidingsbandet fylt upp, eller valensband og leidingsband hev yverlappande energiar. Det skal soleides lite energi til for å flytja eit elektron frå ein stad i leidingsbandet til ein annan stad.

I ein isolator eller ein halvleidar er heile valensbandet fylt upp med elektron. Dette kann berre skje um talet på valenselektron pr atom er eit heiltal (jamfør Pauli-prinsippet um at det er plass åt tvo elektron pr kvantetal). Um energigapet upp til leidingsbandet er stort, er stoffet ein isolator. Er gapet lite, kann sume av elektroni få termisk energi til å hoppa upp i leidingsbandet og verta leidande elektron, som i eit metall. Desse stoffi kallar me halvleidarar. Sjå figur 2.

Mikro- og nanoteknologi - halvleidarlaser

Når ein arbeider med mikro- og nanostrukturar, er ikkje dei kvantemekaniske effektane til å koma frå. I skalering av transistorar i integrerte krinsar, til dømes, er dei kvantemekaniske effektane vortne eit stort problem, sidan tunnelleffektar i gateoksidet skaper stødt større lekkasjestraumar. Ein partikkel som møter ein potensialbarriere, vert i klassisk mekanikk alltid reflektert. Men i kvantemekanikken er det eit endelegt sannsyn for at partikkelen kjem til å "tunnellera" gjenom barrieren. Kor stort sannsyn det er for ein slik tunnelleffekt, skil seg på høgdi og breiddi åt barrieren.

Den kvantemekaniske laseren er døme på ein ny teknikk som utnyttar dei kvantemekaniske effektane. Her vert ulike material, med kvar sine bandstrukturar, kopla i hop slik at ein fær dana sjikt der yvergangane millom dei ulike bandgapi er med og danar potensialbrunnar der elektron og hol kann verta fanga (når eit elektron vert eksitert frå valensbandet til leidingsbandet, segjer me at det er vorte dana eit elektron-hol-par, der det vantande elektronet i valensbandet vert modellert som ein positivt ladd, fri partikkel. Sjå figur 3). Desse elektroni vil normalt vekselverka med fononi (dei kvantiserte gittervibrasjonane) ikring seg, og soleides tapa meir og meir energi, til dess at dei hev stabilisert seg på eitt av dei lægste lovlege energinivåi som er tilgjengelege i potensialbrunnen (hugs at energien er kvantisert, og det berre er lov med tvo elektron pr kvantetilstand). Um desse grunntilstandselektroni no rekombinerar med ledige hol i valensbandet, vert den frigjorde energien send ut som eit foton (hugs at ljos er både partiklar og bylgjor). På denne måten kann ein byggja upp laserstrålar med godt kontrollerte bylgjelengder. Og um ikkje dette var nok so kann det ut frå kvantemekanikken visast at ein fær den tettaste tilstandstettleiken kring grunntilstandsenergiane um ein byggjer upp dei nemnde materialyvergangane som sokalla "kvantedottar". Det vert i desse dagar gjort mykje forsking innanfor prosessteknologien på korleides ein kann byggja upp best mogleg kompakte og kontrollerte kvantedottar.

Kjeldor

C. Kittel. Introduction to solid state physics, Wiley, 1976.
P. C. Hemmer, Faste stoffers fysikk, Tapir, 1987.